Bài 1: 

AH=12cm

AC=20cm

\(\widehat{ABC}=37^0\)

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

\(AB^2=AH^2+BH^2\)\(=3^2+4^2=25\)

\(\Rightarrow AB=5\left(cm\right)\)

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức lượng ta có:

\(AH^2=AB\cdot AC\Rightarrow AC=\dfrac{AH^2}{AB}=\dfrac{3^2}{5}=1,8\left(cm\right)\)

Do đó:\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+1,8^2}\simeq5,3\left(cm\right)\)

AM là đường trung tuyến trong tam giác vuông ABC

=> AM=\(\dfrac{1}{2}\) BC= 2,65 \(\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta ABC\perp A\)ta có:

AM là trung tuyến ứng cạnh huyền BC

=> AM=BM=CM=41

Xét \(\Delta AHM\perp H\)ta có:

\(HM^2=AM^2-AH^2\left(pytago\right)\)

\(\Rightarrow HM^2=41^2-40^2=81\)

\(\Rightarrow HM=\sqrt{81}=9\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}BH=BM-HM=41-9=32\\CH=CM+HM=41+9=50\end{cases}}\)

Xét \(\Delta ABH,\Delta ABC\)có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{B}:chung\)

\(\Rightarrow\Delta ABH\approx\Delta ABC\left(gg\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{BH}=\frac{BC}{BA}\Rightarrow BA^2=BH\cdot BC\)

Xét \(\Delta CHA,\Delta CAB\)có:

\(\widehat{CHA}=\widehat{CAB}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{C}:chung\)

\(\Rightarrow\Delta CHA\approx\Delta CAB\left(gg\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AC}{CH}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow AC^2=CH\cdot BC\)

Ta có: 

\(\left(\frac{AB}{BC}\right)^2=\frac{BH\cdot BC}{HC\cdot BC}=\frac{BH}{HC}=\frac{32}{50}=\frac{16}{25}\)

Vậy \(\frac{AB}{BC}=\frac{16}{25}\)

:> hình dễ bn có thể tự vẽ:Đ vì mik ngại :>

Xét t/gABC_|_ A ta có:

AM là trung tuyến ứng vs cạnh huyền BC

=>AM=BM=CM=41

Lại xét t/gAHM_|_H theo định lý pi-ta-go ta có:

HM²=AM²-AH² 

=>HM²=41²-40²=81

=>HM=\(\sqrt{81}\)=9

Ta có: 

BH=BM-HM=41-9=32

CH=CM+HM=41+9=50

Xét t/gABH và t/gABC ta có:

^ABH=^ABC=90^o

=>^B chung

=>t/gABH~t/gABC(g.g)

=>BA/BH=BC/BA=>BA²=BH.BC

Xét t/gCAB và t/g CHA ta có:

^CAB=^CHA=90^o

=>^C chung

=>AC/AH=BC/AC=>AC²=HC.BC

=>(AB/AC)²=BH.BC/HC.BC=32/50=16/25

=> tỉ số hai cạnh góc AB/AC=16/25

\(a,BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại A

\(b,\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{5}\approx\sin37^0\Rightarrow\widehat{B}\approx37^0\\ \Rightarrow\widehat{C}=90^0-\widehat{B}\approx53^0\\ AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=3,6\left(cm\right)\\ c,S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot4,5=13,5\)

a. \(\left\{{}\begin{matrix}sinC=\dfrac{AB}{BC}=53^0\\sinB=\dfrac{AC}{BC}\approx37^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=180^0-\left(C+B\right)=180^0-\left(53^0+37^0\right)=90^0\left(tong3goctrong1tg\right)\)

Vậy tg ABC vuông tại A

a. cm △ABC ⊥ tại A:
     Xét: 6² + 4,5² = 7,5²
 =>  AB² + AC² = BC²
=> △ABC ⊥ tại A ( Pi-ta-go đảo)
b. sinB= AC/BC
=> sinB= 4,5/7,5 = 0,6
=>∠B = 38,87

góc C tương tự nhé!
 Xét △ABC vuông tại A, đường cao AH:
=> 1/AB² + 1/AC² = 1/AH² ( hệ thức lượng)
=> 1/6² + 1/4,5² = 1/AH²

            AH = 3,6 ( cm)

c. S△ABC= \(\dfrac{AB.AC}{2}\)

                = \(\dfrac{6.4,5}{2}\)

               = 13,5 ( cm²)

1

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{3}{.4}AC\)

Theo pytago xét tam giác ABC vuông tại A có:

\(\sqrt{AB^2+AC^2}=BC^2\\ \Rightarrow\sqrt{\left(\dfrac{3}{4}AC\right)^2+AC^2}=10\\ \Rightarrow AC=8\\ \Rightarrow AB=\dfrac{3.8}{4}=6\)

Theo hệ thức lượng xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

\(AB^2=BH.BC\\ \Leftrightarrow BH=\dfrac{AH^2}{BC}=\dfrac{6^2}{10}=3,6\)

2

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{27}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{27}{4}AC\)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{\left(\dfrac{27}{4}AC\right)^2+AC^2}=\dfrac{\sqrt{745}AC}{4}\) ( Theo pytago trong tam giác ABC vuông tại A)

Theo hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

\(AH.BC=AB.AC\\ \Leftrightarrow33,6.\dfrac{\sqrt{745}}{4}AC=\dfrac{27}{4}AC.AC\\ \Rightarrow AC=\dfrac{56\sqrt{745}}{45}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\dfrac{27}{4}.\dfrac{56\sqrt{745}}{45}=\dfrac{42\sqrt{745}}{5}\\BC=\dfrac{\sqrt{745}}{4}.\dfrac{56\sqrt{745}}{45}=\dfrac{2086}{9}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}AC\approx33,97\\AB\approx229,28\\BC\approx231,78\end{matrix}\right.\)

3

`BC=HB+HC=36+64=100`

Theo hệ thức lượng có (trong tam giác ABC vuông tại A đường cao AH):

\(AH^2=HB.HC\\ \Rightarrow AH=\sqrt{36.64}=48\)

\(AB=\sqrt{HB.BC}=\sqrt{36.100}=60\\ AC=\sqrt{HC.BC}=\sqrt{64.100}=80\)